[2014년 덕이고]

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[1학년 2학기 중간]

집합인 것은? [2.8점]

①

① 유리수의 모임
② 높은 산의 모임
③ 예쁜 꽃의 모임
④ 유명한 사람의 모임
⑤ 수학을 잘하는 학생들의 모임

[eqn: 50]명의 학생에게 두 영화 [eqn: A], [eqn: B]를 관람한 학생 수를 조사하였더니 각각 [eqn: 34]명과 [eqn: 28]명이었다. 두 영화를 모두 관람한 학생수의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [3.4점]

①

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: A= LEFT { `x` LEFT | `x는```50보다```작은```자연수 RIGHT }],
[eqn: B= left{ `x` left|`x는``` (50-2x) in A 인 ``` 자연수 right}]
일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.3점]

④

ㄱ. [eqn: 1 in B]

ㄴ. [eqn: B subset A]

ㄷ. [eqn: n(A)= 2 times n(B)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

영희네 반 학생 [eqn: 35]명을 대상으로 교내 체육대회에서 축구, 배구, 농구 경기에 참여한 학생 수를 조사하였더니 각각 [eqn: 14]명, [eqn: 16]명, [eqn: 15]명이었다. 또 축구와 배구 중 적어도 하나를 참여한 학생이 [eqn: 22]명이고 축구와 농구를 모두 참여한 학생은 없었으며, 축구, 배구, 농구 중에서 어느 것도 참여하지 않은 학생은 [eqn: 3]명이었다. 이때, 축구, 농구, 배구 중 두 종목에만 참여한 학생의 수는? [3.2점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A-B=A]일 때, 옳지 않은 것은? [3.2점]

⑤

① [eqn: A subset B^c]	② [eqn: B-A=B]
③ [eqn: A-(A cap B)=A]	④ [eqn: n(A cupB)= n(A)+n(B)]
⑤ [eqn: (A cup B) cap left( A^c cup B^c right)=A]

전체집합 [eqn: U= left{ `x` left|` x는``` 10```이하의 ```자연수 right}]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A-B= LEFT { 1,```5 RIGHT }], [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 3,```6 RIGHT }], [eqn: (A CUP B) ^{c} = LEFT { 2,```8 RIGHT }]일 때, [eqn: n(B)]의 값은? [3.0점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음 중 참인 명제가 아닌 것은? [2.9점]

⑤

① [eqn: 2]는 [eqn: 6]의 약수이다.
② [eqn: x=-1]이면 [eqn: x^2 =1]이다.
③ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 ge 0]이다.
④ [eqn: x]가 [eqn: 9]의 배수이면 [eqn: x]는 [eqn: 3]의 배수이다.
⑤ 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +6x+10 le 0]이다.

전체집합 [eqn: U= LEFT { `x` LEFT | `x는```8의```약수 RIGHT } RIGHT .]에 대하여 조건 [eqn: p]가
[eqn: p:x^2 -5x+4=0]
일 때, [eqn: sim p]의 진리집합의 모든 원소의 합은? [2.9점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

명제 [eqn: p`->`q]가 참일 때, 반드시 참인 명제는? [2.8점]

③

① [eqn: q`->`p]	② [eqn: sim q`->`p]	③ [eqn: simq`->`simp]
④ [eqn: q`->`simp]	⑤ [eqn: simp`->`simq]

보기에서 그 대우와 역이 모두 거짓인 명제만을 있는 대로 고른 것은? [3.0점]

③

ㄱ. [eqn: a<b]이면 [eqn: c-a<c-b]이다.

ㄴ. [eqn: a]가 [eqn: 3]의 배수이면 [eqn: a^2]도 [eqn: 3]의 배수이다.

ㄷ. [eqn: a]가 무리수이면 [eqn: a+root2]도 무리수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 조건 [eqn: p:3a+2 le x le 2b-3], [eqn: q:x le a-2```또는```x ge b]에 대하여 [eqn: simq]는 [eqn: p]이기 위한 충분조건일 때, 정수 [eqn: a]의 최댓값과 정수 [eqn: b]의 최솟값의 곱은? (단, [eqn: 3a+2 < 2b-3 ,~ a-2<b]) [3.3점]

①

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]은

[eqn: p:ab=0],
[eqn: q:left|a right| + left| b right| = 0],
[eqn: r:a^2 + b^2 =0]

이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.1점]

④

ㄱ. [eqn: p]는 [eqn: r]이기 위한 충분조건이다.

ㄴ. [eqn: simq]는 [eqn: simp]이기 위한 필요조건이다.

ㄷ. [eqn: q]는 [eqn: r]이기 위한 필요충분조건이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x>3]일 때, [eqn: x+ 9 over x-3]의 최솟값을 [eqn: p], 그 때의 [eqn: x]의 값을 [eqn: q]라고 한다. [eqn: p+q]의 값은? [3.4점]

⑤

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

다음은 [eqn: a], [eqn: b]가 실수일 때, [eqn: LEFT | `a+b` RIGHT | LEQ LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT |]임을 증명하는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [3.2점]

②

[eqn: LEFT | `a+b` RIGHT | GEQ 0], [eqn: LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | GEQ 0]이므로 [eqn: BOX{```````````````(가)```````````````}]를 증명하면 된다.

[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} - LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2} = LEFT | `a` RIGHT | ^{2} +2 LEFT | `a` RIGHT | LEFT | `b` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | ^{2} -(a+b) ^{2}# # `````````````````````````````````````````````````````````````=a ^{2} +2 LEFT | `ab` RIGHT | +b ^{2} -a ^{2} -2ab-b ^{2}# # `````````````````````````````````````````````````````````````= BOX{`````(나)`````}]

그런데 [eqn: LEFT | `ab` RIGHT | GEQ ab]이므로

[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} - LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2} GEQ 0# # LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} GEQ LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2}# # THEREFORE ```` LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | GEQ LEFT | `a+b` RIGHT |]

여기서 등호는 [eqn: BOX{`````(다)`````}]일 때 성립한다.

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} GEQ LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2}]	[eqn: LEFT | `ab` RIGHT | -ab]	[eqn: ab LEQ 0]
②	[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} GEQ LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2}]	[eqn: 2( LEFT | `ab` RIGHT | -ab)]	[eqn: ab ge 0]
③	[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} GEQ LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2}]	[eqn: 2( LEFT | `ab` RIGHT | -ab)]	[eqn: ab LEQ 0]
④	[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} le LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2}]	[eqn: LEFT | `ab` RIGHT | -ab]	[eqn: ab ge 0]
⑤	[eqn: LEFT ( LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | RIGHT ) ^{2} le LEFT | `a+b` RIGHT | ^{2}]	[eqn: 2( LEFT | `ab` RIGHT | -ab)]	[eqn: ab LEQ 0]

두 집합 [eqn: X= LEFT { -1,```0,```1 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.1점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=3x+1]	ㄴ. [eqn: f(x) = left| x-2 right|]

ㄷ. [eqn: f(x) = x^2 +3]	ㄹ. [eqn: f(x) = cases{~1 &~(x ge 0) #~3&~(x<0)]

① ㄱ, ㄴ	② ㄷ, ㄹ	③ ㄱ, ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = left| x-3 right| +kx-6]에 대하여 [eqn: f(x)]가 일대일 대응이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? [3.5점]

④

① [eqn: k< -1]	② [eqn: -1 <k<1]
③ [eqn: -1 le k le 1]	④ [eqn: k< -1] 또는 [eqn: k>1]
⑤ [eqn: k le -1] 또는 [eqn: k ge 1]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 대응 중 함수의 개수를 [eqn: a], 일대일 대응의 개수를 [eqn: b], 상수함수의 개수를 [eqn: c]라고 할 때, [eqn: a-5b over c]의 값은? [3.2점]

②

① [eqn: 28]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 52]

두 함수 [eqn: f(x)=3x-4], [eqn: g(x)=ax+b]가 [eqn: f circ g = g circ f]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 한 점을 지난다. 이 점의 좌표는? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3.6점]

①

① [eqn: (2,```2)]	② [eqn: (1,```1)]	③ [eqn: (0,```0)]
④ [eqn: (-1,```-1)]	⑤ [eqn: (-2,```-2)]

함수 [eqn: f(x) = 1 over 5 left( x^2 +2x+a right)~(x ge -1)]에 대하여 두 함수
[eqn: y=f(x)], [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프가 두 점에서 만날 때, 두 점 사이의 거리가 [eqn: root2]가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수
[eqn: f(x)=2x-1],   [eqn: g(x) = cases{~ 1 over 2 x + 3 &~(x ge 0) #~ 3 over 2 x + 3 &~(x<0)]
에 대하여 [eqn: (f circ g )(2) + 3 cdot g^-1 (-2)]의 값은? [3.5점]

③

① [eqn: -23]	② [eqn: -19]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

서술형

전체집합 [eqn: U= left{ `x` left|` x는```10```이하의```자연수right}]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { `x` LEFT | `x는```짝수 RIGHT } RIGHT .],   [eqn: B= left{` x` left|` x는 ```8의```약수 right}]
에 대하여 [eqn: A cup C = B cup C]를 만족시키는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: C]의 개수를 구하시오. [9.0점]

[eqn: 128]

명제 ‘실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 <9]이면 [eqn: -3<x<3]이다’에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) 참

(2) 역 : 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -3<x<3]이면 [eqn: x^2 <9]이다. 참
대우 : 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x le -3] 또는 [eqn: x ge 3]이면 [eqn: x^2 >9]이다. 참

(1) 이 명제의 참, 거짓을 판별하시오. [1.0점]

(2) 이 명제의 역, 대우를 쓰고,

그것의 참, 거짓을 판별하시오. [8.0점]

다음은 [eqn: root7]이 무리수임을 귀류법으로 증명하는 과정이다. 아래 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 서술하시오. [총 9.0점, 각 3.0점]

(가) [eqn: root7]이 유리수

(나) [eqn: a^2]은 [eqn: 7]의 배수 이므로 [eqn: a]도 [eqn: 7]의 배수이다.
(다) [eqn: a,~b]가 서로소

[eqn: box{```````````````````````````````(가)```````````````````````````````}]라고 가정하자.

그러면 [eqn: root7 = a over b] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수, [eqn: b!=0])꼴로 나타낼 수 있다. 양변에 제곱하여 정리하면
[eqn: a^2 = 7b^2] [eqn: cdots] ㉠

이 때 [eqn: BOX{```````````````````````````````(나)```````````````````````````````}].

[eqn: a=7k]([eqn: k]는 자연수)로 놓으면 ㉠에서 [eqn: 49k^2 = 7b^2]
[eqn: THEREFORE ````b ^{2} =7k ^{2}]

따라서 [eqn: b^2]이 [eqn: 7]의 배수이므로 [eqn: b]도 [eqn: 7]의 배수이다.

그러므로 [eqn: BOX{```````````````````````````````(다)```````````````````````````````}]라는 가정에 모순이므로 [eqn: root7]이 무리수이다.

실수에서 정의된 함수 [eqn: f]가 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x+y)= f(x) + f(y)]를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: 0]

(2) [eqn: f(x+(-x))= f(x)+f(-x)=0]
(3) [eqn: f(nx)=f((n-1)x+x)##~~~~~=f((n-1)x)+f(x)##~~~~~=f((n-2)x+x)+f(x)##~~~~~=f((n-2)x)+2f(x)##~~~~~=f((n-3)x+x)+2f(x)##~~~~~=f((n-3)x)+3f(x)##~~~~~~~~~~vdots##~~~~~=f(x)+(n-1)f(x)##~~~~~=nf(x)]

(1) [eqn: f(0)]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]임을 보이시오.

[3.0점]

(3) 임의의 자연수 [eqn: n]과 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(nx)=n cdot f(x)]임을 보이시오. [4.0점]

[2014년 덕이고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com